Question

有一個數學活動，其具體操作過程是：   

第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN

請解答以下問題：

（1）如圖2，若延長MN交線段BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論．

（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP ？

 

Answer 1

略

解析:解：（1）△BMP是等邊三角形.   ………………………………………1分

           證明：連結AN

            ∵EF垂直平分AB   ∴AN = BN

由折疊知 AB = BN

∴AN = AB =BN   ∴△ABN為等邊三角形  

∴∠ABN =60°  ∴∠PBN =30°            …………………………3分

又∵∠ABM =∠NBM =30°，∠BNM =∠A=90°

 ∴∠BPN =60°

∠MBP =∠MBN +∠PBN =60°

∴∠BMP =60°

∴∠MBP =∠BMP =∠BPM =60°

∴△BMP為等邊三角形 .   ………………………………………………5分

（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC ≥BP………………7分

在Rt△BNP中， BN = BA =a，∠PBN=30°

∴BP =    ∴b≥  ∴a≤b .

∴當a≤b時，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP.…………………9分