Question

【題目】已知在中，，分別為邊上的兩動點，且在運動過程中保持，為的對角線．

（1）如圖①，若，

圖①

①當點與點重合時，探索的值；

②當點與點不重合時，探索的值；

（2）如圖②，參考（1）研究方法，若，

圖②

①當點與點重合時，探索的值；

②當點與點不重合時，探索的值；

（3）如圖③，參考（1）（2）研究方法，若時，試探索是否存在常數，使得，若存在，請直接寫出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；

（2）①；②；

（3）．

【解析】

（1）①利用等邊三角形的性質即可解決問題；

②如圖①中，只要證明即可解決問題；

（2）①解直角三角形求出有關線段即可解決問題；②若點與點不重合，如圖②中，過點作于點，設，，只要證明，可得，在中，，可得，，推出，在中，由，可得，由此即可解決問題；

（3）模仿（1）（2）的解法即可解決問題；

解；（1）①如圖①﹣1中，

圖①-1

四邊形是平行四邊形，

，都是等邊三角形

點與點重合

點與點重合

，

．

②若點與點不重合．如圖①中，

圖①

由①得，都是等邊三角形

，

（2）①若點與點重合，如圖②﹣1中，

圖②-1

，

易知，又，

又

容易證得

設，則，，

又，

．

若點與點不重合，如圖②中，過點作于點，

設，，

圖②

由上可知，

，

，

，又，

，

，

在中，，

，，

，

在中，，

，

，

，

，

（3）如圖③當點與重合時，作于，于．

設，．

圖③

則，，，

，，，

由，可得，，

，

，

，

．

由（1）（2）可知：當點與點不重合時，，

綜上所述，．