Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB．將矩形ABCD對折，得到折痕MN；沿著CM折疊，點D的對應點為E，ME與BC的交點為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時點B的對應點為G．下列結論：

①△CMP是直角三角形；

②點C、E、G不在同一條直線上；

③PC=MP；

④BP=AB；

⑤PG=2EF．

其中一定成立的是_____（把所有正確結論的序號填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①④⑤

【解析】

由折疊的性質，可得∠DMC=∠EMC，CD=CE，∠AMP=∠EMP，AB=GE，由平角的定義可求∠PME+∠CME=×180°=90°，可判斷①正確；由折疊的性質可得∠GEC=180°，可判斷②正確；設AB=x，則AD=2x，由勾股定理可求MP和PC的長，即可判斷③錯誤，先求出PB=x，即可判斷④正確，由平行線分線段成比例可求PG=2EF，可判斷⑤正確，即可求解．

∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠DMC=∠EMC，CD=CE，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠AMP=∠EMP，AB=GE，

∵∠AMD=180°，

∴∠PME+∠CME=×180°=90°，

∴△CMP是直角三角形；故①正確；

∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠D=∠MEC=90°，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠MEG=∠A=90°，

∴∠GEC=180°，

∴點C、E、G在同一條直線上，故②錯誤；

∵AD=2AB，

∴設AB=x，則AD=2x，

∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN；

∴DM=AD=x，

∴CM= x，
∵∠PMC=90°，MN⊥PC，
∴CM2=CNCP，
∴CP= x，
∴PN=CP-CN=x，
∴PM= x，
∴ ，
∴PC=PM，故③錯誤，
∵PC= x，
∴PB=BC-PC=2x-x=x，
∴ ，
∴BP=AB，故④正確，
∵∠MEC=∠G=90°，
∴PG∥ME，
∴ ，
∵AB=GE=CD=CE，
∴CG=2CE，
∴PG=2EF，故⑤正確，
故答案為：①④⑤．