Question

如圖，菱形ABCD中，∠B＝60º，點E在邊BC上，點F在邊CD上．

(1)如圖1，若E是BC的中點，∠AEF＝60º，

求證：BE＝DF；

(2)如圖2，若∠EAF＝60º，

求證：△AEF是等邊三角形．

 

Answer 1

【答案】

證明：（1）連接AC。

 

 

∵菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。

∴△ABC是等邊三角形。

∵E是BC的中點，∴AE⊥BC。

∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。

∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。

∴EC=CF。∴BE=DF。

（2）連接AC。

 

 

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。

∴△ABC是等邊三角形。

∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。

∴∠AEB=∠AFC。

在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC，  

∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。

∵∠EAF=60°，∴△AEF是等邊三角形。

【解析】菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形內角和定理 全等三角形的判定和性質。

【分析】（1）連接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根據菱形的性質，易得△ABC是等邊三角形，

又由三線合一，可證得AE⊥BC，從而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，從而證得BE=DF。

（2）連接AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF是等邊三角形。