Question

已知二次函數圖象頂點為C（1,0）,直線與該二次函數交于A,B兩點,其中A點（3,4）,B點在y軸上.

（1）求此二次函數的解析式；
（2）P為線段AB上一動點（不與A,B重合）,過點P作y軸的平行線與二次函數交于點E.設線段PE長為h,點P橫坐標為x,求h與x之間的函數關系式；
（3）D為線段AB與二次函數對稱軸的交點,在AB上是否存在一點P,使四邊形DCEP為平行四邊形？若存在,請求出P點坐標；若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）存在,P點坐標為（2,3）．

試題分析：（1）因為直線y=x+m過點A,將A點坐標直接代入解析式即可求得m的值；設出二次函數的頂點式,將（3,4）代入即可；
（2）由于P和E的橫坐標相同,將P點橫坐標代入直線和拋物線解析式,可得其縱坐標表達式；
（3）先假設存在點P,根據四邊形DCEP是平行四形的條件進行推理,若能求出P點坐標,則證明存在點P,否則P點不存在．
試題解析：(1)把A（3,4）代入
得m=1,
∴ ,
∴B（0,1）,
設二次函數解析式為,
把A.B.C三點坐標代入得

解得
∴；
（2）∵P點在直線的圖象上,
∴P點坐標為（,）,
∵E點在拋物線的圖象上,
∴E點坐標為（,）,
∴；
（3）存在.
易求D點坐標為（1,2）,則DC="2" ,
當PE=2時,PE∥DC,四邊形DCEP為平行四邊形,
即 解得,,
當時,PE與DC重合,
當時,代入,
∴ P點坐標為（2,3）．