Question

【題目】（12分）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于A、B兩點，動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．設點P運動的時間為t（秒）．

（1）直接寫出A、B兩點的坐標．

（2）當△APQ與△AOB相似時，求t的值．

（3）設△APQ的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）或；（3）．

【解析】試題分析：（1）解方程可求得OA、OB的長，容易求得A、B兩點的坐標；

（2）由勾股定理可求得AB，用t可表示出AP、QB、AQ的長，分△APQ∽△AOB和△APQ∽△ABO兩種情況，可分別求得t的值；

（3）過Q作QH⊥OA于H，得到△AQH∽△ABO，進而得到QH，在利用三角形面積公式即可得到結論．

試題解析：（1）點A的坐標為（0，3）；點B的坐標為（4，0）．

（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5．

∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．

△APQ與△AOB相似，可能有兩種情況：

①若△APQ∽△AOB，則有，即， 解得．

②若△APQ∽△ABO，則有，即， 解得．

故t=或

（3）過Q作QH⊥OA于H，則△AQH∽△ABO，∴AQ：AB=HQ：OB，∴（5-2t）：5=QH：4，∴QH=，∴S=APHQ，∴ ．