Question

【題目】如圖，△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分線分別交AC、DC、BC

于點E、F、G，連接DE、DG．

(1)求證：四邊形DGCE是菱形；

(2)若∠ACB=30°，∠B=45°，CG=10，求BG的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BG= 5+5．

【解析】

（1）由角平分線的性質和中垂線性質可得∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC，可得CE∥DG，DE∥GC，DE=EC，可證四邊形DGCE是菱形；
（2）過點D作DH⊥BC，由銳角三角函數可求DH的長，GH的長，BH的長，即可求BG的長．

(1)∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠DCG

∵EG垂直平分CD，

∴DG=CC，DE=EC

∴∠DCG=∠GDC，∠ACD=∠EDC

∴∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC

∴CE∥DG，DE∥GC

∴四邊形DECG是平行四邊形

又∵DE=EC

∴四邊形DGCE是菱形

(2)如圖，過點D作DH⊥BC，

∵四邊形DGCE是菱形，

∴DE=DG=GC=10，DG∥EC

∴∠ACB=∠DGB=30°，且DH⊥BC

∴DH=5，HG=DH=5

∵∠B=45°，DH⊥BC

∴∠B=∠BDH=45°

∴BH=DH=5

∴BG=BH+HG=5+5