Question

【題目】（1）問題發現

如圖①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC，點D是AB上一點，DE∥BC．

填空：BD，CE的數量關系為　 　；位置關系為　 　；

（2）類比探究

如圖②，將△ADE繞著點A順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α≤90°），連接BD，CE，請問（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的條件下，將△ADE繞點A順時針旋轉，旋轉角為α，直線BD，CE交于點F，若AC＝1，AB＝，當∠ACE＝15°時，請直接寫出BF的長．

Answer 1

【答案】（1）問題發現：BD＝kCE；BD⊥CE；（2）類比探究：（1）中的結論還成立，理由見解析；（3）拓展延伸：BF的長為或．

【解析】

（1）由平行線分線段成比例可得，由已知條件即可得BD=kEC；由∠A=90°即可得出BD⊥CE；
（2）通過證明△ABD∽△ACE，可得=k，即可得BD=kEC；再證出∠BFC=90°，即可得出BD⊥CE；
（3）分兩種情況討論，由相似三角形的性質可得∠ACE=∠ABD，即可證∠BFC=90°，由直角三角形的性質和勾股定理可求BF的值．

（1）問題發現：

解：∵DE∥BC，

∴＝，

∵AB＝kAC，

∴BD＝kCE，

∵∠A＝90°，

∴AB⊥AC，

∴BD⊥CE；

故答案為：BD＝kCE；BD⊥CE；

（2）類比探究：

解：（1）中的結論還成立，理由如下：

延長CE交BD于F，如圖②所示：

由旋轉的性質可知，∠BAD＝∠CAE，

∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝＝k，∠ABD＝∠ACE，

∴BD＝kEC；

∵∠CBF+∠BCF＝∠ABD+∠ABC+∠BCF＝∠ACE+∠BCF+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴BD⊥CE；

（3）拓展延伸：

解：由旋轉的性質可知：∠BAD＝∠CAE

∵＝，

∴△ABD∽△ACE，

∴∠ACE＝15°＝∠ABD，

∵∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠FBC+∠FCB＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°，

∴∠ACB＝60°，

分兩種情況：

①0°＜α≤90°時，如圖②所示：

∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，

∴BC＝2AC＝2，

∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2，

∴BF＝CF＝；

②α＞90°時，如圖③所示：

設CF＝a，在BF上取點G，使∠BCG＝15°

∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，

∴∠CFB＝90°，

∴∠GCF＝60°，∠CBF＝∠BCG，

∴CG＝BG＝2a，GF＝a．

∴BF＝BG+GF＝（2+）a，

∵CF2+BF2＝BC2

∴a2+（2a+a） 2＝22，

解得：a2＝2﹣，

∴a＝，

∴BF＝（2+）＝＝＝；

即：BF的長為或．