Question

【題目】如圖1，已知拋物線的頂點為，與軸的交點為，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）M為軸上方拋物線上的一點，與拋物線的對稱軸交于點，若，求點的坐標；

（3）如圖2，將原拋物線沿對稱軸平移后得到新拋物線為，，是新拋物線在第一象限內互不重合的兩點，軸，軸，垂足分別為，，若始終存在這樣的點，，滿足，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點坐標為；（3）

【解析】

（1）設，將點A的坐標代入求解即可；

（2）令求出點B的坐標，設拋物線對稱軸直線與軸交點為，作原點關于直線的對稱點，連接，根據已知條件可求出點C的坐標，根據待定系數法求出直線的解析式，與拋物線解析式聯立可求出點M的坐標；

（3）設，根據全等三角形的性質得出，設新拋物線解析式為，將點、的坐標代入拋物線的解析式得到兩個等式，進而可得出m與n的關系，可先求出n的取值范圍，最后根據h與n的函數關系式進行求解．

解：（1）拋物線的頂點為，

，

把代入拋物線解析式得，，

解得，，

；

（2）令得，，

或，

，

，

設拋物線對稱軸直線與軸交點為，作原點關于直線的對稱點，連接，則，

，

，

，

，

，

設直線的解析式為，

則，，

解得，，

直線解析式為，

與拋物線聯立得，

，即，

∴，

，

故點坐標為；

（3）設，

，

，，

，

設新拋物線解析式為，

把點、的坐標代入拋物線的解析式得：，，

即，，

建立與或與的函數關系式，從而求的取值范圍，

先找到與的關系式，，

，，

，

，，

，，，

且，

把代入得，

且，

，

故的取值范圍．