Question

如圖,設拋物線C₁:,C₂:,C₁與C₂的交點為A,

B,點A的坐標是,點B的橫坐標是－2.

（1）求的值及點B的坐標； 

（2）點D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點H,在DH的右側作正三角形DHG. 過C₂頂點Ｍ的直線記為,且與x軸交于點N.

① 若過△DHG的頂點G,點D的坐標為(1, 2)，求點N的橫坐標；

② 若與△DHG的邊DG相交,求點N的橫坐標的取值范圍.

 

 

 

Answer 1

解：（1）∵ 點A在拋物線C₁上，

∴ 把點A坐標代入得 =1……………………………………（2分）

∴ 拋物線C₁的解析式為

設B(－2,b)， ∴  b＝－4, ∴  B(－2,－4) …………………………（3分）          

（2）①如圖1:

∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x軸，∴ 點M在DH上，MH=5.

過點G作GE⊥DH,垂足為E,

由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，

∴ ME＝4.    ………………………………（4分）                   

設N( x, 0 ), 則 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN,得 ,

 

∴ ,    ∴ …………（5分））

 

∴ 點N的橫坐標為．        

 

② 當點Ｄ移到與點A重合時,如圖2，

 

 

直線與DG交于點G,此時點Ｎ的橫坐標最大．

過點Ｇ,Ｍ作x軸的垂線,垂足分別為點Ｑ,F,

設Ｎ（x，0）

∵ A (2, 4)    ∴  G (, 2)

∴ NQ=   ＮF=  GQ=2   MF =5.

∵ △NGQ∽△NMF

∴

 

∴

 

∴ .   ………………………………………………………（7分）       

 

當點D移到與點B重合時,如圖3

 

 

直線與DG交于點D,即點B

此時點N的橫坐標最小.

∵ B(－2, －4)    ∴ H(－2, 0), D(－2, －4)

設N（x，0）                          

∵ △BHN∽△MFN， ∴

 

∴    ∴                        

 

∴ 點N橫坐標的范圍為 ≤x≤………………………………（8分）

 

解析:略