Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為AB邊上的一動點（D不與A、B重合），過D作DE∥BC，交AC于點E．把△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處．連接BA′，設AD=x，△ADE的邊DE上的高為y．

（1）求出y與x的函數關系式；
（2）若以點A′、B、D為頂點的三角形與△ABC 相似，求x的值；
（3）當x取何值時，△A′DB是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

過A點作AM⊥BC，垂足為M，交DE于N點，則BM= BC=3，

∵DE∥BC，

∴AN⊥DE，即y=AN．

在Rt△ABM中，AM= =4，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴y= （0＜x＜5）

（2）

解：∵△A'DE由△ADE折疊得到，

∴AD=A'D，AE=A'E，

∵由（1）可得△ADE是等腰三角形，

∴AD=AE，

∴A'D=A'E，

∴四邊形ADA'E是菱形，

∴AC∥D A'，

∴∠BDA'=∠BAC，

又∵∠BAC≠∠ABC，

∴∠BDA'≠∠ABC，

∵∠BAC≠∠C，

∴∠BDA'≠∠C，

∴有且只有當BD=A'D時，△BDA'∽△BAC，

∴當BD=A'D，即5﹣x=x時，x=

（3）

解：第一種情況：∠BDA'=90°，

∵∠BDA'=∠BAC，而∠BAC≠90°，

∴∠BDA'≠90°．

第二種情況：∠BA'D=90°，

∵在Rt△BA'D中，DB2﹣A'D2=A'B2，

在Rt△BA'M中，A'M2+BM2=A'B2，

∴DB2﹣A'D2=A'M2+BM2，

∴（5﹣x）2﹣x2=（4﹣ x）2+（3）2，

解得x= ；

第三種情況：∠A'BD=90°，

∵∠A'BD=90°，∠AMB=90°，

∴△BA'M∽△ABM，

即 = ，∴BA'= ，

在Rt△D BA'中，DB2+A'B2=A'D2，

（5﹣x）2+ =x2，

解得：x= ．

綜上可知當x= 或 時，△A'DB是直角三角形

【解析】（1）先過A點作AM⊥BC，得出BM= BC=3，再根據DE∥BC，得出AN⊥DE，即y=AN，再在Rt△ABM中，求出AM的值，再根據DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，即可求出y與x的函數關系式；（2）根據△A'DE由△ADE折疊得到，得出AD=A'D，AE=A'E，再由（1）可得△ADE是等腰三角形，得出AD=A'D，AE=A'E，即可證出四邊形ADA'E是菱形，得出∠BDA'=∠BAC，再根據∠BAC≠∠ABC，∠BAC≠∠C，得出∠BDA'≠∠ABC，∠BDA'≠∠C，從而證出△BDA'∽△BAC，即可求出x的值；（3）先分三種情況進行討論；第一種情況當∠BDA′=90°，得出∠BDA'≠90°；第二種情況當∠BA'D=90°，根據∠BAM＜90°，∠BA'D＜∠BAM，可得∠BA'D≠90°；第三種情況當∠A'BD=90°，根據∠A'BD=90°，∠AMB=90°，得出△BA'M∽△ABM，即可求出BA′的值，再在Rt△D BA'中，根據DB2+A'B2=A'D2 ， 求出x的值，即可證出△A′DB是直角三角形；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．