Question

【題目】定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點稱為和美四邊形的中心．

（1）寫出一種你學過的和美四邊形_________；

（2）如圖1，點O是和美四邊形ABCD的中心，E，F，G、H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，連接OE，OF，OG，OH，記四邊形AEOH，BEOF，CGOF，DHOG的面積為，用等式表示的數量關系(無需說明理由)．

（3）如圖2，四邊形ABCD是和美四邊形，若AB=3，BC=2，CD=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）正方形（答案不唯一，也可以是菱形.）；（2）S1+S3= S2+S4；（3）.

【解析】

（1）根據正方形的對角線互相垂直解答(答案不唯一)；
（2）根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答；
（3）根據和美四邊形的定義、勾股定理計算即可．

解：（1）正方形是學過的和美四邊形，
故答案為：正方形；（答案不唯一，也可以是菱形.）

（2）的數量關系是S1+S3= S2+S4；理由如下：

如圖1，連接AC、BD，

由和美四邊形的定義可知，AC⊥BD，
則∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°，

又E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴△AOE的面積=△BOE的面積，△BOF的面積=△COF的面積，△COG的面積=△DOG的面積，△DOH的面積=△AOH的面積，

∵S1+S3=△AOE的面積+△COF的面積+△COG的面積+△AOH的面積，

S2+S4=△BOE的面積+△BOF的面積+△DOG的面積+△DOH的面積，

∴S1+S3= S2+S4；
（3）如圖2，連接AC、BD交于點O，則AC⊥BD，

∵在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2，

Rt△DOC中，DO2=DC2-CO2，

AB=3，BC=2，CD=4，
∴AD2=AO2+DO2

=AB2-BO2+DC2-CO2

=AB2+DC2-BC2

=32+42-22

=21，
∴AD= .