Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（﹣8，0），直線BC經過點B（﹣8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉角度α得到四邊形OA′B′C′，此時邊OA′與邊BC交于點P，邊B′C′與BC的延長線交于點Q，連接AP．

（1）四邊形OABC的形狀是 ．

（2）在旋轉過程中，當∠PAO=∠POA，求P點坐標．

（3）在旋轉過程中，當P為線段BQ中點時，連接OQ，求△OPQ的面積．

Answer 1

【答案】（1）矩形；（2）P（﹣4，6）；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用A，B，C點坐標得出∠COA=∠OAB=∠B=90°，進而得出答案；

（2）利用∠PAO=∠POA得出PA=PO，進而得出AE=EO=4，即可得出P點坐標；

（3）首先得出Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），進而利用平行線的性質求出∠POQ=∠PQO，即可得出BP=PO，再利用勾股定理得出PQ的長，進而求出△OPQ的面積．

解：（1）∵點A的坐標為（﹣8，0），點B（﹣8，6），C（0，6），

∴∠COA=∠OAB=∠B=90°，

∴四邊形OABC是矩形．

故答案為：矩形；

（2）如圖1，過點P作PE⊥AO于點E，

∵∠PAO=∠POA，

∴PA=PO，

∵PE⊥AO，

∴AE=EO=4，

∴P（﹣4，6）；

（3）如圖2，在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中，

，

∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q（HL），

∴∠OQC=∠OQC'，

又∵OP∥C'Q，

∵∠POQ=∠OQC'，

∴∠POQ=∠PQO，

∴PO=PQ，

∵BP=QP，

∴BP=OP=x，

在Rt△OPC中，x2=（8﹣x）2+62，

解得：x=．

故S△OPQ=×CO×PQ=×6×=．