Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=8．⊙A的半徑為2，動點P從點B出發沿BC方向以每秒1個單位的速度向點C運動，以點P為圓心，以PB為半徑作⊙P，設點P運動的時間為t秒．

（1）當⊙P與直線AC相切時，求t的值；

（2）當⊙P與⊙A相切時，求t的值；

（3） 延長BA交⊙A于點D，連接AP交⊙A于點E，連接DE并延長交BC于點F．當△ABP與△FBD相似時，求t的值．

 

Answer 1

解：(1)過點P作PK⊥AC，垂足為點K，

∵⊙P與直線AC相切，∴．

由AB=AC=，BC=8得△ABC是等腰直角三角形，

可得∠C=45°, ∴△PKC是等腰直角三角形．

∴PC=PK=t，∴t+t=8．

解得t=

（2）過點A作AM⊥BC,垂足為點M，則，

AM=， PM= t－４或４－t，

若⊙P與⊙A外切，則，

解得．

若⊙P與⊙A內切，則，

解得．

綜上所述，當或時，⊙P與⊙A相切．

（3）當△ABP∽△FBD時，∠D=∠BPA，

又∠D=∠AED=∠FEP ，

∴∠D=∠AED=∠FEP =∠BPA．

∴∠BFD=2∠D．∵，

∴∠D=45°，∴∠BAP=90°．

∴AP與AC重合，∴．