Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，BC＝2.點P從點A出發沿沿射線AB以1的速度運動，過點P作PE∥BC交射線AC于點E，同時點Q從點C出發沿BC的延長線以1的速度運動，連結BE、EQ.設點P的運動時間為t（）.

（1）求證：△APE是等邊三角形；

（2）直接寫出CE的長（用含的代數式表示）；

（3）當點P在邊AB上，且不與點A、B重合時，求證：△BPE≌△ECQ.

（4）在不添加字母和連結其它線段的條件下，當圖中等腰三角形的個數大于3時，直接寫出t的值和對應的等腰三角形的個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2-t或t-2；（3）見解析；（4）當t=1時，圖中有5個等腰三角形；當t=4時，圖中有4個等腰三角形

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得∠A=∠ABC=∠ACB =60°，根據平行線的性質可得∠APE=∠ABC=60°，∠AEP=∠ACB=60°，再利用等邊三角形的判定即可得證；

（2）由（1）可得AE=AP=t，分E沒過C點與過C點兩種情況進行解答即可；

（3）△ABC與△APE都是是等邊三角形，利用等邊三角形的性質易證BP=EC，∠BPE=∠ECQ=120°，再通過“邊角邊”證明△BPE≌△ECQ即可；

（4）當P在AB的中點，即t=1時，圖中有5個等腰三角形；當P點在AP=2AB，即t=4時，圖中有4個等腰三角形.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠ABC=∠ACB =60°，

∵，

∴∠APE=∠ABC=60°，∠AEP=∠ACB=60°．

∴△APE是等邊三角形；

（2）∵△APE是等邊三角形，

∴AE=AP=t，

當E點沒過C點時，AE=2﹣t；

當E點過了C點時，AE=t﹣2；

（3）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°．

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=PE=AE，∠APE=60°．

∴AB-AP=AC-AE，∠BPE=∠ECQ=120°，

∴BP=EC，

∵AP=CQ=t，

∴PE=CQ，

∴△BPE≌ECQ（SAS）；

（4）如圖1，當t=1時，圖中有5個等腰三角形：△ABC，△APE，△PBE，△CQE，△EBQ；

如圖2，當t=4時，圖中有4個等腰三角形:△ABC，△APE，△CBE，△EQB.