Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，連接.如果點在直線上，且點到直線的距離不大于1，那么稱點是線段的“臨近點”.

（1）判斷點是否是線段的“臨近點”，并說明理由；

（2）若點是線段的“臨近點”.①求的取值范圍；②設直線與軸交于點，試用表達的面積，并求出的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）是，見解析；（2）①3≤m≤5；②S=m-1；最大面積為4

【解析】

（1）把C代入y=x-1中檢驗，求出C到直線AB的距離，即可作出判斷；

（2）①根據題意列出關于m的不等式，求出解集即可確定出m的范圍；

②過A作AP⊥x軸于點P，交直線CQ于點M，過點Q作QN⊥AP于點N，求出M、N、P的坐標，利用S=表示出△ACQ的面積，再根據m的取值范圍得出S的最大值.

解：（1）把x=代入y=x-1得：y=-1=，即C在直線y=x-1上，
∵C到線段AB的距離d=3-=＜1，

∴點是線段AB的“鄰近點”；

（2）①若點Q（m，n）是線段AB的“鄰近點”，則有n=m-1，且|n-3|≤1，
∴|m-4|≤1，即-1≤m-4≤1，
解得：3≤m≤5；

②如圖，過A作AP⊥x軸于點P，交直線CQ于點M，過點Q作QN⊥AP于點N，

∵A（2，3），

在中，令y=0，則x=1，令x=2，則y=1，

∴點C（1，0），M（2，1），

∴S===m-1，

∵3≤m≤5，

∴S的最大值為5-1=4.