Question

如圖 ，矩形中，．點是上的動點，以為直徑的與交于點，過點作于點．

（1）當是的中點時：

①的值為______________；

② 證明：是的切線；

（2）試探究：能否與相切?若能，求出此時的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）① 

②法一：在矩形中，，

，又，

∴，

得，

連，則， ∴，

， ∴，

∵，     ∴，

∴是的切線      

 

（2）法一：若能與相切，   ∵是的直徑，   

∴，則，

又，    ∴， 

∴，                                   

∴，設，則，得，

整理得．

∵，       ∴該方程無實數根．

∴點不存在，不能與相切．                  

法二：  若能與相切，因是的直徑，則，

設，則，由勾股定理得：， 

即，  整理得，  

∵，      ∴該方程無實數根．

∴點不存在，不能與相切．                   

（法三：本題可以通過判斷以為直徑的圓與是否有交點來求解，參照前一解法給分）