Question

（2013•閔行區三模）已知：如圖1，A、B是⊙O上兩點，OA=5，AB=8，C是

AB

上任意一點，OC與弦AB相交于點D，過點C作CE⊥OB，交射線BO于點E，CE的延長線交⊙O于點F，聯結BC、BF、OF．
（1）如圖2，當點E是線段BO的中點時，求弦BF的長；
（2）當點E在線段BO上時，設AD=x，

S△BOD

S△BOC

，求y關于x的函數解析式，并寫出這個函數的定義域；
（3）當CD=1時，求四邊形OCBF的面積．

Answer 1

分析：（1）先求出OC=OB=OF=5，再根據CE⊥OB，點E是線段BO的中點，得出EC=EF，OE=OB，則四邊形OCBF是菱形，從而得出BF=OC=5；
（2）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，求出AH，再求出OH=

OA2-AH2

=3，由AD=x，得BD=8-x，DH=|x-4|，利用勾股定理得OD=

OH2+DH2

=

9+(x-4)2

，再根據

S△BOD

S△BOC

=

OD

OC

得：y=

9+(x-4)2

5

；
（3）由CD=1，得OD=4，求出DH=

OD2-OH2

=

7

，BD=4-

7

或4+

7

，再證出△OBC≌△OBF，得出S_{四邊形OCBF}=2S_△OBC，則當BD=4+

7

時，S_△OBD=

1

2

BD•OH，
由CD=1，OD=4，得S_△OBC=

5

4

S_△OBD，S_{四邊形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4+

7

）；當BD=4-

7

時，同理可得：S_{四邊形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4-

7

）．

解答：解：（1）∵點C，B，F在⊙O上，
∴OC=OB=OF=5，
∵CE⊥OB，點E是線段BO的中點，
∴EC=EF，OE=OB，
∴四邊形OCBF是菱形，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BF=OC=5；

（2）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
在Rt△OAH中，利用勾股定理，得：
OH=

OA2-AH2

=

52-42

=3，
由AD=x，得BD=8-x，DH=|x-4|，
在Rt△ODH中，利用勾股定理，得：
OD=

OH2+DH2

=

9+(x-4)2

，
于是，△BOD與△BOC同高，
得：

S△BOD

S△BOC

=

OD

OC

=

9+(x-4)2

5

，
即得：y=

9+(x-4)2

5

，
這個函數的定義域為

7

4

≤x＜8；

（3）由CD=1，得OD=4，
∴DH=

OD2-OH2

=

42-32

=

7

，
∴BD=4-

7

或4+

7

，
∵

OC=OF BC=BF OB=OB

，
∴△OBC≌△OBF，
∴S_△OBC=S_△OBF，
∴S_{四邊形OCBF}=2S_△OBC，
當BD=4+

7

時，S_△OBD=

1

2

BD•OH=

1

2

×3（4+

7

）=

3

2

（4+

7

），
由CD=1，OD=4，得S_△OBC=

5

4

S_△OBD=

15

8

（4+

7

），
∴S_{四邊形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4+

7

）；
當BD=4-

7

時，
同理可得：S_{四邊形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4-

7

）；
∴四邊形OCBF的面積等于

15

4

（4-

7

）或

15

4

（4+

7

）．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是勾股定理、垂經定理、四邊形三角形的面積、全等三角形的判定與性質，關鍵是做出輔助線，綜合利用有關定理列出算式進行計算．