Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點B、C都在第一象限內，CA⊥x軸，垂足為點A，反比例函數y1= 的圖象經過點B；反比例函數y2= 的圖象經過點C（ ，m）．

（1）求點B的坐標；
（2）△ABC的內切圓⊙M與BC，CA，AB分別相切于D，E，F，求圓心M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CA⊥x軸，∠ACB=90°，

∴CB∥x軸．

∵將C（ ，m）代入函數y2= 得：n= = ，

∴點C（ ， ）．

∴點B的縱坐標為 ．

∵將y1= 代入得： = ，解得；x=2 ，

∴點B的坐標為（2 ， ）

（2）

解：如圖所示：連接ME、MD、MF．

∵⊙M與BC，CA，AB分別相切于D，E，F，

∴ME⊥AC，MD⊥BC，MF⊥AB．

∴∠ECD=∠CDM=∠CEM=90°．

∴四邊形CDME為矩形．

∵MD=ME，

∴四邊形CDME為正方形．

∵在Rt△ACB中，AC= ，BC= ，

∴AB=2．

∵S△ACB= ACBC= （AC+BC+AB）r，

∴⊙M的半徑= = = ﹣1．

∴點M的坐標為（2 ﹣1，1）

【解析】（1）先求得點C的坐標，然后根據平行于x軸上點縱坐標相等，可知點B的縱坐標，然后可求得點B的橫坐標；（2）連接MD、ME、MF．由點B和點C的坐標可求得AC、BC的長，依據勾股定理可求得AB的長，然后在△ABC中利用面積法可求得圓M的半徑，從而可求得點M的坐標．