Question

【題目】若拋物線y＝ax2+bx﹣3的對稱軸為直線x＝1，且該拋物線經過點（3，0）．

（1）求該拋物線對應的函數表達式．

（2）當﹣2≤x≤2時，則函數值y的取值范圍為　 ．

（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有實數根，則n的取值范圍為　 ．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣4≤y≤5；（3）n≥﹣4．

【解析】

（1）由對稱軸x＝1可得b=-2a，再將點（3，0）代入拋物線解析式得到9a+3b-3=0，然后列二元一次方程組求出a、b即可；

（2）用配方法可得到y＝（x﹣1）2﹣4，則當x=1時，y有最小值-4，而當x=-2時，y=5，即可完成解答；

（3）利用直線y=n與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4有交點的坐標就是方程ax2+bx-3=n有實數解，再根據根的判別式列不式、解不等式即可.

解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，

∵拋物線經過點（3，0）．

∴9a+3b﹣3＝0，

把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，

∴b＝﹣2，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴x＝1時，y有最小值﹣4，

當x＝﹣2時，y＝4+4﹣3＝5，

∴當﹣2≤x≤2時，則函數值y的取值范圍為﹣4≤y≤5；

（3）當直線y＝n與拋物線y＝（x﹣1）2﹣4有交點時，方程ax2+bx﹣3＝n有實數根，

∴n≥﹣4．