Question

【題目】如圖，拋物線（）交直線：于點，點兩點，且過點，連接，.

（1）求此拋物線的表達式與頂點坐標；

（2）點是第四象限內拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為點，交于點.設點的橫坐標為，試探究點在運動過程中，是否存在這樣的點，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形.若存在，請求出此時點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）若點在軸上，點在拋物線上，是否存在以點，，，為頂點的平行四邊形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為；（2）存在， ，；（3）或或.

【解析】

（1）根據一次函數解析式求出A、C兩點的坐標，把A、B、C三點代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化為頂點式可求得結果.

（2）先求出BC所在直線的解析式，設出P、Q兩點的坐標，根據勾股定理求出AC，根據以，，為頂點的三角形是等腰三角形可分類討論，分為AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ三種情況.

（3）分兩種情況討論，一是F在拋物線上方，過點作軸，可得FH=4，設，可得，求出n代入即可；二是F在拋物線下方，可得，求出n的值即可，最后的結果綜合兩個結果即可.

解：（1）

∵當時，,

∴;

∴，;

二次函數過點、，設;

∵過點,

∴;

∴;

∴

;

∵,

∴頂點坐標為.

（2）存在.

設過、,

;

設解得：;

∴;

設、;

在中，解得;

①當時;

;

解得：（不合題意舍去），;

∴;

②當時;

;

解得：，（不合題意舍去）;

∴;

③當時;

;

解得：（不合題意舍去）;

∴，;

（3）當在拋物線上方時，，時;

過點作軸，與全等;

則;

設;

則;

解得；，；

或;

當在拋物線下方時，;

（不合題意舍去），;

∴;

∴或或.