Question

(本小題滿分10分)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉，旋轉角為(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

(1)如圖1，當AB∥CB₁時，設A₁B₁與BC相交于點D．證明：△A₁CD是等邊三角形；

(2)如圖2，連接AA₁、BB₁，設△ACA₁和△BCB₁的面積分別為S₁、S₂．

求證：S₁∶S₂＝1∶3；

(3)如圖3，設AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，AC＝a，連接EP．當等于多少度時，EP的長度最大，最大值是多少？

 

Answer 1

見解析

解析:（1）∵AB∥CB′，

∴∠B=∠BC B′=30°，

∴∠A′CD=60°，

又∵∠A′=60∠，

∴∠A′CD=∠A′=∠A′DC=60°，

∴△A′CD是等邊三角形；

（2）在Rt△ACB中∠ABC=30°

∴AC:BC=1:

又∵旋轉角度為θ

∴∠ACA'=∠BCB'

又∵將△ABC旋轉到△

∴AC=A'C   CB=CB'

∴AC:BC=A'C:B'C=1:

∴△ACA'∽△BCB'

∴S1∶S2＝

（3）（3）當E,C,P三點在一條直線上時取得最大值，即旋轉120°，EP==.