Question

【題目】心理學家研究發現，一般情況下，學生的注意力隨著老師講課時間的變化而變化，講課開始時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想的狀態，隨后學生的注意力開始分散．經過實驗分析可知，學生的注意力y隨時間t（分鐘）的變化規律有如下關系式： （y值越大表示接受能力越強）

（1）講課開始后第5分鐘時與講課開始后第25分鐘時比較，何時學生的注意力更集中；

（2）講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中能持續多少分鐘；

（3）一道數學難題，需要講解24分鐘，為了效果較好，要求學生的注意力最低達到180，那么經過適當安排，老師能否在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目？

Answer 1

【答案】（1）講課開始后第25分鐘時學生的注意力比講課開始后第5分鐘時更集中；（2）講課開始后10分鐘時，學生的注意力最集中，能持續10分鐘；（3）老師可以經過適當安排，能在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目．

【解析】試題分析：

（1）把t=5和t=25分別代入對應的函數關系式求出y的值，并比較大小即可得出結論；

（2）由自變量的取值范圍分別求出第一段函數和第三段函數中函數值取最大值時對應的自變量取值結合兩段函數的增減性及第二段函數的函數值為固定的240分析即可得到本題答案；

（3）分別在第一段函數和第三段函數中，由y=180解得對應的x的值，即可求得注意力y不低于180的持續時間是多長，由此即可得到本題答案.

試題解析：

（1）當t=5時，y=195，當t=25時，y=205

∴講課開始后第25分鐘時學生的注意力比講課開始后第5分鐘時更集中．

（2）①當0＜t≤10時，y=﹣t2+24t+100=﹣（t﹣12）2+244，

該段函數圖象的對稱軸為直線t=12，在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，

∴當t=10時，y有最大值240；

②當10＜t≤20時，y=240；

③當20＜t≤40時，y=﹣7t+380，y隨t的增大而減小，

故此時y＜240；

∴綜上所述，當t=10時，y有最大值240，持續時間為：20-10=10（分鐘），

即：講課開始后10分鐘時，學生的注意力最集中，能持續10分鐘．

（3）當0＜t≤10，令y=﹣t2+24t+100=180，解得t1=4，t2=20（不在取值范圍內，舍去），

當20＜t≤40時，令y=﹣7t+380=180，解得t=28.57

∵28.57﹣4＞24，

∴老師可以經過適當安排，能在學生注意力達到所需的狀態下講解完這道題目.