Question

【題目】已知雙曲線y= （x＞0），直線l1：y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）過定點F且與雙曲線交于A，B兩點，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），直線l2：y=﹣x+ ．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面積S；
（2）若AB= ，求k的值；
（3）設N（0，2 ），P在雙曲線上，M在直線l2上且PM∥x軸，問在第二象限內是否存在一點Q，使得四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當k=﹣1時，l1：y=﹣x+2 ，

聯立得， ，化簡得x2﹣2 x+1=0，

解得：x1= ﹣1，x2= +1，

設直線l1與y軸交于點C，則C（0，2 ）．

S△OAB=S△AOC﹣S△BOC= 2 （x2﹣x1）=2

（2）

解：根據題意得： 整理得：kx2+ （1﹣k）x﹣1=0（k＜0），

∵△=[ （1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，

∴x1、x2 是方程的兩根，

∴ ①，

∴AB= = ，

= ，

= ，

將①代入得，AB= = （k＜0），

∴ = ，

整理得：2k2+5k+2=0，

解得：k=﹣2，或 k=﹣

（3）

解：∵y﹣ =k（x﹣ ）（k＜0）過定點F，

∴x= ，y= ，

∴F（ ， ），

設P（x， ），則M（﹣ + ， ），

則PM=x+ ﹣ = = ，

∵PF= = ，

∴PM=PF．

∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，

當點P在NF上時等號成立，此時NF的方程為y=﹣x+2 ，

由（1）知P（ ﹣1， +1），

∴當P（ ﹣1， +1）時，PM+PN最小，此時四邊形QMPN是周長最小的平行四邊形，

∴Q（﹣ ，2 ）

【解析】（1）求出A、B點的橫坐標，根據S△OAB=S△AOC﹣S△BOC計算即可．（2）利用方程組以及根與系數的關系，求出AB，根據AB= ，列出方程即可解決問題．（3）首先證明PM=PF．推出PM+PN=PF+PN≥NF=2推出當點P在NF上時等號成立，此時NF的方程為y=﹣x+2 ，由（1）知P（ ﹣1， +1），由此即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的性質的相關知識，掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大．