Question

【題目】如圖（1），在矩形ABCD中，BC=8，點P是BC邊上一點，且BP=3，點E是線段CD上的一個動點，把△PCE沿PE折疊，點C的對應點為點F，當點E與點D重合時，點F恰好落在AB上．

（1）求CD的長；

（2）若點F剛好落在線段AD的垂直平分線上時，求線段CE的長；

（3）請直接寫出AF的最小值.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）y=(或)；（3）.

【解析】

如圖1中，設CD=x，由折疊可知：,在RT△PBF中，求得AF=x-4，在RT△AFD中，根據AD2+AF2=DF2，構建方程即可解決問題．

如下圖2所示，MN是線段AD的中垂線，作FG⊥CD于H．設CE=y，根據RT△PNF，求得FN=, CG=FN,GE=-y，在RT△GEF中，根據FG2+GE2=EF2，構建方程即可解決問題．

要使AF最小，當且僅當點A、F、P在同一直線上.

（1）當點E與點D重合時，如圖

設CD=x，

由折疊可知：DF=DC=x, PC=PF=5,

在RT△PBF中，

BF=

則 AF=x-4，

在RT△AFD中，∠A=90°

由AD2+AF2=DF2

得

解得：x=10,即CD=10.

（2）當點F落在AD得中垂線MN上時，

作FG⊥DC于點G，則FG=4，

在RT△PNF中，

FN=

設CE=y，∵CG=FN=，

∴GE=-y，

在RT△GEF中，由FG2+GE2=EF2

得：42+（-y）2=y2

解之得：y=(或)

要使AF最小，當且僅當點A、F、P在同一直線上