Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點，A（4，12）為雙曲線（x＞0）上的一點．
（1）求k的值；
（2）過雙曲線上的點P作PB⊥x軸于B，連接OP，若Rt△OPB兩直角邊的比值為，試求點P的坐標；
（3）分別過雙曲線上的兩點P₁、P₂，作P₁B₁⊥x軸于B₁，P₂B₂⊥x軸于B₂，連接OP₁、OP₂．設Rt△OP₁B₁、Rt△OP₂B₂的周長分別為l₁、l₂，內切圓的半徑分別為r₁、r₂，若，試求的值．

Answer 1

解：（1）將A（4，12）代入雙曲線中，得12=，則k=48；

（2）由（1）得雙曲線解析式為，
設P（m，n），∴，即mn=48，
當時，即，可設m=z，n=4z，
∴z•4z=48，解得，
∴，，
∴P（，），
當時，同理可求得P（，）；

（3）在Rt△OP₁B₁中，設OB₁=a₁，P₁B₁=b₁，OP₁=c₁，
則P₁（a₁，b₁），由（2）得a₁b₁=48，
在Rt△OP₂B₂中，設OB₂=a₂，P₂B₂=b₂，OP₂=c₂，
則P₂（a₂，b₂），由（2）得a₂b₂=48，
∵
∴（a₁+b₁+c₁）•r₁=（a₂+b₂+c₂）•r₂
即l₁•r₁=l₂•r₂，故
又∵=2，∴=2，即得：=．
分析：（1）直接把A的坐標代入解析式中就可以確定k的值；
（2）設P（m，n），根據函數解析式和Rt△OPB兩直角邊的比值可以列出方程，解方程可以求出m，n，也就求出了點P的坐標；
（3）根據最下圖此題首先應該知道一個結論：（a+b+c）•r=ab，利用這個結論可以得到，這樣就可以求出的值了．
點評：此題主要考查了利用反比例函數的圖象和性質解題，也利用了三角形的內切圓的知識，有一定綜合性．