Question

【題目】如圖1，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣1，0)，B(3，0)兩點，與y軸交于點C，直線l是拋物線的對稱軸，D是拋物線的頂點．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）如圖1，連結BD，線段OC上點E關于直線l的對稱點E'恰好在線段BD上，求點E的坐標；

（3）如圖2，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線分別與BC交于點M，與x軸交于點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△AMN的面積相等，且線段PQ的長度最小？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）E(0，2)；（3）存在，點Q(，)或(，)

【解析】

（1）先根據拋物線的解析式判斷出二次項的系數為﹣1，再根據點A，B坐標的特點按交點式設出化簡即可得出結論；

（2）先確定出直線BD的解析式，設出點E的坐標，進而得出點E'的坐標，代入直線BD解析式求解，即可得出結論；

（3）設出點P的坐標，表示出點M，N的坐標，再設出點Q到直線PM的距離為h，根據△PQN與△AMN的面積相等，求出h＝1，進而得出點Q的坐標，再分兩種情況，利用PQ最短，求出m，即可得出結論．

解：（1）∵二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4），

∵B（3，0），

∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+6，

設點E（0，a），

∵點E'是點E關于拋物線對稱軸對稱的點，

∴E'（2，a），

∵點E'（2，a）在直線BD上，

∴﹣2×2+6＝a，

∴a＝2，

∴E（0，2）；

（3）由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

∵B（3，0），

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設點P（m，﹣m2+2m+3），

∴M（m，﹣m+3），N（m，0），

∴S△AMN＝ANMN＝（m+1）（﹣m+3）＝﹣（m+1）（m﹣3），

設點Q到直線PM的距離為h，

∴S△PQN＝PNh＝（﹣m2+2m+3）h，

∵△PQN與△AMN的面積相等，

∴﹣（m+1）（m﹣3）h＝﹣（m+1）（m﹣3），

∴h＝1，

∴Q的橫坐標為（m+1）或（m﹣1），

∴Q（m+1，﹣m2+4）或（m﹣1，﹣m2+4m），

當Q（m+1，﹣m2+4）時，PQ2＝（m+1﹣m）2+[﹣m2+4﹣（﹣m2+2m+3）]2＝（2m﹣1）2+1，

當m＝時，PQ2最小，即PQ最小，此時Q（，），

當Q（m﹣1，﹣m2+4m）時，PQ2＝（m﹣1﹣m）2+[﹣m2+4m﹣（﹣m2+2m+3）]2＝（2m﹣3）2+1，

當m＝時，PQ2最小，即PQ最小，此時Q（，），

即滿足條件的點Q（，）或（，）．