Question

本題分為A、B 兩類題，你可從A、B 兩類題中任選一題解答即可
（A類）：如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）求四邊形AQMP的周長；
（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？說明你的理由．
（B類）：有人這樣證明三角形內角和是180°，如圖，D是△ABC內一點，連接AD、BD、CD，他們將△ABC分成了三個小的三角形．因此有：三個小三角形的內角和的和比△ABC的內角和多360°，如果設三角形內角和是x，則有：x+x+x=x+360°，易解得x=180°，你認為這個證明正確嗎？說說你的理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC=a，
∴∠B=∠C，
又∵PM∥AB，QM∥AC，
∴∠PMC=∠B=∠C，∠QMB=∠C=∠B，
∴QM=QB，PM=PC，
∴四邊形AQMP的周長為：AQ+QM+PM+AP
=AQ+QB+PC+AP
=AB+AC
=2a；

（2）由已知得：△QMB∽△ABC，△PMC∽△ABC；

（3）已知AB=AC，PM∥AB，QM∥AC，M位于BC的中點，
∴PM=QM=AB=AC，
∴AQ=PM=QM=AP，
∴四邊形AQMP為菱形．
分析：A類（1）由已知AB=AC和PM∥AB，QM∥AC，可推出∠PMC=∠B=∠C，∠QMB=∠C=∠B，所以得QM=QB，PM=PC，從而求出四邊形AQMP的周長；
（2）由PM∥AB，QM∥AC，可推出△QMB∽△ABC，△PMC∽△ABC；
（3）當M位于BC的中點時，由已知得PM=QM=AB=AC，所以四邊形AQMP為菱形．
點評：此題考查的知識點是相似三角形、等腰三角形的性質及菱形的判定，解答此題的關鍵是運用等腰三角形的性質．