Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD和BC的中點，延長BA和CD分別交射線NM于點E和點F，若tan∠F= ， FC=FN，EN= ， 則EF=

Answer 1

【答案】1
【解析】解：連接BD，點K為BD的中點；連接KM、KN；延長MN至G點，使EG=EB，連接BG．
∵M、N分別是AD和BC的中點，
∴KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN．
∵AB=CD，
∴KM=KN，
∴△KMN為等腰三角形，
∴∠KMN=∠KNM，
∵KM∥AB
∴∠BEG=∠KMN，
∵KN∥CD，
∴∠F=∠KNM
∴∠F=∠KNM=∠KMN=∠BEG，
∵FC=FN、EB=EG，
∴△EBG和△FCN均為等腰三角形，且△EBG∽△FCN．
∴∠G=∠C=∠FNC，
又∵∠BNG=∠FNC，
∴∠G=∠BNG，
∴△BGN為等腰三角形，
∴BN=BG，∠EBG=∠G，
∴BG=CN，∠EBG=∠FNC，
在△EBG和△FNC中 ，
∴△EBG≌△FCN（ASA），
∴EG=FN，
∴EF=NG，
過B點作GN的垂線BH交GN于H點．
由△BGN為等腰△可知，HN=HG，
∵tan∠F= ，
∴設BH=3a．
∴tan∠BEG=tan∠F= ，
∴EH=4a、BE=5a，
∴HG=HN=BE﹣EH=a，
∵EN=HE﹣HN=4a﹣a=3a，
∵EN= ， 所以3a= ，
∴a= ， EF=NG=2a=1，
所以答案是：1．


【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．