Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0．

（1）求a、b的值；

（2）如圖1，點G在y軸上，三角形COG的面積是三角形ABC的面積的，求出點G的坐標；

（3）如圖2，過點C作CD⊥y軸交y軸于點D，點P為線段CD延長線上的一個動點，連接OP、AC、DB，OE平分∠AOP，OF⊥CE，若∠OPD+k∠DOF＝k（∠FOP+∠AOE），現將四邊形ABDC向下平移k個單位得到四邊形A1B1D1C1，已知AM+BN =k，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）G（0，6）或（0，﹣6）；（3）S陰＝.

【解析】

（1）利用非負數的性質即可解決問題；

（2）過點C作CT⊥AB于T．根據面積關系求出OG的長即可解決問題；

（3）設∠AOE=x，則∠AOP=2∠AOE=2x，∠POB=180°-2x，由CD∥AB，推出∠OPD=∠POB=180°-2x，由∠DOF=∠AOE，推出∠OPD+k∠DOF=k∠FOP+k∠AOE，推出∠OPD=k∠FOP，可得180°-2x=k（90°-x），推出k=2，即可解決問題.

（1）∵|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0，

又∵|2a﹣b+8|≥0，（a+b﹣2）2≥0，

∴，

解得，

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）如圖1中，過點C作CT⊥AB于T．

∵C（﹣1，2），

∴CT＝2，

∵S△ABC＝×6×2＝6，

∴S△OCG＝×1×OG＝3，

∴OG＝6，

∴G（0，6）或（0，﹣6）．

（3）如圖2中，

設∠AOE＝x，

∵OE平分∠AOP，

∴∠AOP＝2∠AOE＝2x，

∵∠AOB＝180°，

∴∠POB＝180°﹣2x，

∵CD⊥y軸，AB⊥y軸，

∴∠CDO＝∠DOB＝90°，

∴CD∥AB，

∴∠OPD＝∠POB＝180°﹣2x，

∵OF⊥OE，

∴∠FOP＝90°﹣x，

∵∠AOD＝90°，

∴∠AOE+∠EOD＝∠DOF+∠EOD＝90°，

∴∠DOF＝∠AOE，

∴∠OPD+k∠DOF＝k∠FOP+k∠AOE，

∴∠OPD＝k∠FOP，

∴180°﹣2x＝k（90°﹣x），

∴k＝2，

∴，

∴AM+BN＝，

∴S陰＝S四邊形MNB1A1=．