Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數y=﹣2x+8的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點C，過點A作AB⊥x軸，垂足為點A，過點C作CB⊥y軸，垂足為點C，兩條垂線相交于點B．

（1）線段AB，BC，AC的長分別為AB=　 　，BC=　 　，AC=　 　；

（2）折疊圖1中的△ABC，使點A與點C重合，再將折疊后的圖形展開，折痕DE交AB于點D，交AC于點E，連接CD，如圖2．

請從下列A、B兩題中任選一題作答，我選擇 　題．

A：①求線段AD的長；

②在y軸上，是否存在點P，使得△APD為等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

B：①求線段DE的長；

②在坐標平面內，是否存在點P（除點B外），使得以點A，P，C為頂點的三角形與△ABC全等？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8，4，4；（2）①AD=5；②P（0，2）或（0，8）．

【解析】分析：（1）先確定出OA=4，OC=8，進而得出AB=8，BC=4，利用勾股定理即可得出AC；

（2）A、①利用折疊的性質得出BD=8﹣AD，最后用勾股定理即可得出結論；

②分三種情況利用方程的思想即可得出結論；

B．①利用折疊的性質得出AE，利用勾股定理即可得出結論；

②先判斷出∠APC=90°，再分情況討論計算即可．

詳解：（1）∵一次函數y=﹣2x+8的圖象與x軸，y軸分別交于點A，點C，∴A（4，0），C（0，8），∴OA=4，OC=8．

∵AB⊥x軸，CB⊥y軸，∠AOC=90°，∴四邊形OABC是矩形，∴AB=OC=8，BC=OA=4．在Rt△ABC中，根據勾股定理得：AC==4．

故答案為：8，4，4；

（2）A、①由（1）知，BC=4，AB=8，由折疊知，CD=AD．在Rt△BCD中，BD=AB﹣AD=8﹣AD，根據勾股定理得：CD2=BC2+BD2，即：AD2=16+（8﹣AD）2，∴AD=5，②由①知，D（4，5），設P（0，y）．

∵A（4，0），∴AP2=16+y2，DP2=16+（y﹣5）2．

∵△APD為等腰三角形，∴分三種情況討論：

Ⅰ、AP=AD，∴16+y2=25，∴y=±3，∴P（0，3）或（0，﹣3）

Ⅱ、AP=DP，∴16+y2=16+（y﹣5）2，∴y=，∴P（0，）；

Ⅲ、AD=DP，25=16+（y﹣5）2，∴y=2或8，∴P（0，2）或（0，8）．

B．①、由A①知，AD=5，由折疊知，AE=AC=2，DE⊥AC于E．在Rt△ADE中，DE==；

②、∵以點A，P，C為頂點的三角形與△ABC全等，∴△APC≌△ABC，或△CPA≌△ABC，∴∠APC=∠ABC=90°．

∵四邊形OABC是矩形，∴△ACO≌△CAB，此時，符合條件，點P和點O重合，即：P（0，0），如圖3，過點O作ON⊥AC于N，易證，△AON∽△ACO，∴，∴AN=，過點N作NH⊥OA，∴NH∥OA，∴△ANH∽△ACO，∴，∴NH=，AH=，∴OH=，∴N（），而點P2與點O關于AC對稱，∴P2（），同理：點B關于AC的對稱點P1，同上的方法得：P1（﹣），即：滿足條件的點P的坐標為：（0，0），（），（﹣）．