Question

（2008•永州）如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C且OA=1，OB=OC=3．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸方程；
（3）點(diǎn)M、N在y=ax²+bx+c的圖象上（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊），且MN∥x軸，求以MN為直徑且與x軸相切的圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由OA=1，OB=OC=3，可知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），用待定系數(shù)法求得解析式；
（2）把解析式變換成頂點(diǎn)式，寫(xiě)出坐標(biāo)；
（3）由（2）知，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓半徑為r，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+r，-r），代入解析式求得r的值，同理求得當(dāng)MN在x軸上方時(shí)r的值．
解答：解：（1）依題意A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）分別代入y=ax²+bx+c，
解方程組得所求解析式為y=x²-2x-3；

（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，-4），對(duì)稱(chēng)軸x=1；

（3）設(shè)圓半徑為r，當(dāng)MN在x軸下方時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（1+r，-r），
把N點(diǎn)代入y=x²-2x-3得，
同理可得另一種情形，
∴圓的半徑為或．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與圓的關(guān)系，相切的概念求解．