Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，動點D從點A出發，在AB邊上以每秒1個單位的速度向點B運動，連結CD，作點A關于直線CD的對稱點E，設點D運動時間為t（s）．

（1）若△BDE是以BE為底的等腰三角形，求t的值；

（2）若△BDE為直角三角形，求t的值；

（3）當S△BCE≤時，求所有滿足條件的t的取值范圍（所有數據請保留準確值，參考數據：tan15°=2﹣）．

Answer 1

【答案】(1);(2) t的值為秒或3秒；(3) t的取值范圍是6﹣3≤t≤3．

【解析】

（1）如圖1，先由勾股定理求得AB的長，根據點A、E關于直線CD的對稱，得CD垂直平分AE，根據線段垂直平分線的性質得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由AB=3，可得t的值；

（2）分兩種情況：

①當∠DEB=90°時，如圖2，連接AE，根據AB=3t=3，可得t的值；

②當∠EDB=90°時，如圖3，根據△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四邊形CAED是平行四邊形，所以AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE中，由對稱得：AC=CE=3，所以點D在運動過程中，CE的長不變，所以△BCE面積的變化取決于以CE作底邊時，對應高的大小變化，

①當△BCE在BC的下方時，

②當△BCE在BC的上方時，

分別計算當高為3時對應的t的值即可得結論．

解：（1）如圖1，連接AE，

由題意得：AD=t，

∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，

∴BC=2AC=6，

∴AB==3，

∵點A、E關于直線CD的對稱，

∴CD垂直平分AE，

∴AD=DE，

∵△BDE是以BE為底的等腰三角形，

∴DE=BD，

∴AD=BD，

∴t=AD=；

（2）△BDE為直角三角形時，分兩種情況：

①當∠DEB=90°時，如圖2，連接AE，

∵CD垂直平分AE，

∴AD=DE=t，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2t，

∴AB=3t=3，

∴t=；

②當∠EDB=90°時，如圖3，

連接CE，

∵CD垂直平分AE，

∴CE=CA=3，

∵∠CAD=∠EDB=90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAG=∠GED，

∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，

∴△AGC≌△EGD，

∴AC=DE，

∵AC∥ED，

∴四邊形CAED是平行四邊形，

∴AD=CE=3，即t=3；

綜上所述，△BDE為直角三角形時，t的值為秒或3秒；

（3）△BCE中，由對稱得：AC=CE=3，所以點D在運動過程中，CE的長不變，所以△BCE面積的變化取決于以CE作底邊時，對應高的大小變化，

①當△BCE在BC的下方時，過B作BH⊥CE，交CE的延長線于H，如圖4，當AC=BH=3時，

此時S△BCE=AEBH=×3×3=，

易得△ACG≌△HBG，

∴CG=BG，

∴∠ABC=∠BCG=30°，

∴∠ACE=60°﹣30°=30°，

∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，

∴△ACD≌△ECD，

∴∠ACD=∠DCE=15°，

tan∠ACD=tan15°==2﹣，

∴t=6﹣3，

由圖形可知：0＜t＜6﹣3時，△BCE的BH越來越小，則面積越來越小，

②當△BCE在BC的上方時，如圖3，CE=ED=3，且CE⊥ED，

此時S△BCE=CEDE=×3×3=，此時t=3，

綜上所述，當S△BCE≤時，t的取值范圍是6﹣3≤t≤3．