Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以邊BC為直徑作⊙O，交AB于D，DE是⊙O的切線，過點B作DE的垂線，垂足為E．

(1)求證∠ABC＝∠ABE；

(2)求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：(1)、連接OD，根據切線的性質以及BE⊥DE得出OD∥BE，結合OD=OB得出∠ABC=∠ABE；(2)、連接CD，根據題意得出△BDC和△BCA相似，從而得出BD的長度，然后根據△DEB和△ACB相似得出DE的長度．

詳解：（1）證明：連接OD，∵DE是⊙O的切線；∴OD⊥DE， ∵BE⊥DE，∴OD∥BE，

∴∠EBD=∠ODB，∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABC， ∴∠ABC=∠ABE；

（2）連接CD，在Rt△ABC中,AC=3，BC=4，∴AB=5， ∵⊙O的半徑，∴∠CDB=90°，

∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠CDB， ∵∠B=∠B， ∴△BDC∽△BCA，

∴，即， ∴BD= ， ∵∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠ABE，

∴△DEB∽△ACB， ∴，即 ， ∴DE=．