Question

【題目】（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；

（2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？

（3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（2）（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立；（3）結論EF=BE+FD不成立，應當是EF=BE﹣FD，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）可通過構建全等三角形來實現線段間的轉換．延長EB到G，使BG=DF，連接AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF轉換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的關鍵．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要通過其他的全等三角形來實現，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就構成了三角形ABE和AEF全等的所有條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．

（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，只不過證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結果完全一樣．

（3）按照（1）的思路，我們應該通過全等三角形來實現相等線段的轉換．就應該在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．根據（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．所以（1）的結論在（3）的條件下是不成立的．

（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．

∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴AG=AF，∠1=∠2．

∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

又AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．

∴EF=BE+FD

（2）（1）中的結論EF=BE+FD仍然成立．

（3）結論EF=BE+FD不成立，應當是EF=BE﹣FD．

證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG．

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADF．

∵AB=AD，

∴△ABG≌△ADF．

∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．

∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD

=∠EAF=∠BAD．

∴∠GAE=∠EAF．

∵AE=AE，

∴△AEG≌△AEF．

∴EG=EF

∵EG=BE﹣BG

∴EF=BE﹣FD．