Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M．點F在線段ME上，且滿足CF＝AD，MF＝MA．

 

 (1)若∠MFC＝120°，求證：AM＝2MB；

 (2)求證：∠MPB＝90°－∠FCM．  

 

Answer 1

【答案】

(1) 連結MD,

  E是DC的中點，且ME⊥DC

   EM是CD的垂直平分線

   MD=MC

   △AMD和△FMC中

       AM=FM

       MD=MC

       AD=FC

   △AMD△FMC  (SSS)

   MAD=MFC=125

   又AD∥BC  且∠ABC=90

       BAD=90

       MAB=35

       MB=AM

      即MB=MF

      MF=2MB

 (2)  MD=MC 且ME⊥DC       

         ME平分DMC

        FMC=DMC

        又 AD∥MC

           DMC=ADM

        又△AMD△FMC

          ADM=FCM

          DMC=FCM

          FMC=FCM

          Rt△BPM中

          MPB=90-FMC

          =90-FCM

【解析】（1）連接MD，由于點E是DC的中點，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知條件證明△AMD≌△FMC，根據全等三角形的性質可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接著得到∠MAB=30°，再根據30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可證明AM=2BM；

（2）利用（1）的結論得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性質即可得到∠CME=∠FCM，再根據已知條件即可解決問題．