Question

【題目】已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA、EC．

（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；

（2）若點P在線段AB上．

①如圖2，連接AC，當(dāng)P為AB的中點時，判斷△ACE的形狀，并說明理由；

②如圖3，設(shè)AB=a，BP=b，當(dāng)EP平分∠AEC時，求a：b及∠AEC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①△ACE是直角三角形；②a：b=：1，∠AEC=45°．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△APE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)解答；

②根據(jù)PE∥CF，得到，代入a、b的值計算求出a：b，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG，證明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度數(shù)．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD和四邊形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，在△APE和△CFE中，∵AP=CF，∠P=∠F，PE=EF，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；

（2）①∵P為AB的中點，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a

∵PE∥CF，∴，即，解得：；

作GH⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴HG=AG==，又BG=2b﹣a=，∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°，∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．