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求證：四個連續整數的乘積與1的和必是一個完全平方數．

答案：
解析：

　　證明：設四個連續的整數依次為m，m＋1，m＋2，m＋3

　　則m(m＋1)(m＋2)(m＋3)＋1

　　＝[(m＋3)][(m＋1)(m＋2)]＋1

　　＝(m²＋3m)[(m²＋3m)＋2]＋1

　　＝(m²＋3m)²＋2(m²＋3m)＋1

　　＝(m²＋3m＋1)²

　　又m是整數，∴m²＋3m＋1是整數．

　　故m(m＋1)(m＋2)(m＋3)＋1＝(m²＋3m＋1)²是一完全平方數．

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科目：初中數學 來源： 題型：

我們已經知道了一些特殊的勾股數，如三個連續整數中的勾股數：3、4、5；三個連續的偶數中的勾股數6、8、10；由此發現勾股數的正整數倍仍然是勾股數．
（1）如果a、b、c是一組勾股數，即滿足a²+b²=c²，求證：ka、kb、kc（k為正整數）也是一組勾股數．
（2）另外利用一些構成勾股數的公式也可以寫出許多勾股數，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n為整數，m＞n，m＞1）
②世界上第一次給出的勾股數的公式，被收集在《九章算術》中a=

(m2-n2)，b=mn，c=

(m2+n2)（m、n為正整數，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉圖提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數）
④畢達哥拉斯學派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n為正整數），請你在上述的四個公式中選擇一種加以證明，滿足公式的a、b、c是一組勾股數
（3）請根據你在（2）中所選的公式寫出一組勾股數．

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求證：四個連續整數的積加1是某個整數的平方．

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科目：初中數學 來源： 題型：解答題

我們已經知道了一些特殊的勾股數，如三個連續整數中的勾股數：3、4、5；三個連續的偶數中的勾股數6、8、10；由此發現勾股數的正整數倍仍然是勾股數．
（1）如果a、b、c是一組勾股數，即滿足a²+b²=c²，求證：ka、kb、kc（k為正整數）也是一組勾股數．
（2）另外利用一些構成勾股數的公式也可以寫出許多勾股數，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n為整數，m＞n，m＞1）
②世界上第一次給出的勾股數的公式，被收集在《九章算術》中 $數學公式$ ，b=mn， $數學公式$ （m、n為正整數，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉圖提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n為整數）
④畢達哥拉斯學派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n為正整數），請你在上述的四個公式中選擇一種加以證明，滿足公式的a、b、c是一組勾股數
（3）請根據你在（2）中所選的公式寫出一組勾股數．

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