Question

閱讀下面材料：
若設關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x₁，x₂，那么由根與系數的關系得：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．∵

b

a

=-(x1+x2)

c

a

=x1x2，∴ax2+bx+c=a(x2+

b

a

x+

c

a

)=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂]=a（x-x₁）（x-x₂）．于是，二次三項式就可以分解因式ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
（1）請用上面的方法將多項式4x²+8x-1分解因式．
（2）判斷二次三項式2x²-4x+7在實數范圍內是否能利用上面的方法因式分解，并說明理由．
（3）如果關于x的二次三項式mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）能用上面的方法分解因式，試求出m的取值范圍．

Answer 1

（1）令4x²+8x-1=0，
∵a=4，b=8，c=-1，b²-4ac=64+16=80＞0，
∴x₁=

-2+ 5

2

，x₂=

-2- 5

2

，
則4x²+8x-1=4（x-

-2+ 5

2

）（x-

-2- 5

2

）；

（2）二次三項式2x²-4x+7在實數范圍內不能利用上面的方法分解因式，理由如下：
令2x²-4x+7=0，
∵b²-4ac=（-4）²-56=-40＜0，
∴此方程無解，
則此二次三項式不能用上面的方法分解因式；

（3）令mx²-2（m+1）x+（m+1）（1-m）=0，
由此二次三項式能用上面的方法分解因式，即有解，
∴b²-4ac=4（m+1）²-4m（m+1）（1-m）≥0，
化簡得：（m+1）[4（m+1）+4m（m-1）]≥0，即4（m+1）（m²+1）≥0，
∵m²+1≥1＞0，∴m+1≥0，解得m≥-1，又m≠0，
則m≥-1且m≠0時，此二次三項式能用上面的方法分解因式．