Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向A點運動．

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由．
（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

【答案】
（1）解：經過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，

∵△ABC中，AB=AC，

∴在△BPD和△CQP中，

，

∴△BPD≌△CQP（SAS）

（2）解：設點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

根據全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當BD=PC，BP=CQ時，②當BD=CQ，BP=PC時，兩三角形全等；

①當BD=PC且BP=CQ時，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情況；

②BD=CQ，BP=PC時，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x= ；

故若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為 cm/s時，能夠使△BPD與△CQP全等

【解析】（1）經過1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即據SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設點Q的運動速度為x（x≠3）cm/s，經過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，據（1）同理可得當BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC時兩三角形全等，求x的解即可．