Question

【題目】在平面直角坐標中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣10a（a＞0）分別交x軸于點A、B（點A在點B左側），交y軸于點C，且OB=OC．

（1）求a的值；

（2）如圖1，點P位拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t（t＞0），連接AC、PA、PC，△PAC的面積為S，求S與t之間的函數關系式；

（3）如圖2，在（2）的條件下，設對稱軸l交x軸于點H，過P點作PD⊥l，垂足為D，在拋物線、對稱軸上分別取點E、F，連接DE、EF，使PD=DE=EF，連接AE交對稱軸于點G，直線y=kx﹣k（k≠0）恰好經過點G，將直線y=kx﹣k沿過點H的直線折疊得到對稱直線m，直線m恰好經過點A，直線m與第四象限的拋物線交于另一點Q，若=，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）S= t2+t；（3）Q（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）令y=0，求出x軸交點坐標，再用OB=OC求出C點坐標，代入拋物線方程即可；（2）先求出直線AC解析式，再用t表示出PN代入面積公式計算即可；（3）依次求出直線AE的解析式為y=﹣x﹣2，直線WG的解析式為y=3x﹣8，直線KH的解析式為y=﹣2x+3，直線AV的解析式為y=﹣x﹣，即可．

試題解析：（1）令y=0，則ax2﹣3ax﹣10a=0，

即a（x+2）（x﹣5）=0，

∴x1=﹣2，x2=5，

∴A（﹣2，0），B（5，0），

∴OB=5，

∵OB=OC，

∴OC=5，

∴C（0，﹣5），

∴﹣5=﹣10a，

∴a=；

（2）如圖1，

由（1）可知知拋物線解析式為y=x2﹣x﹣5，

設直線AC的解析式為：y=k1x+b，把A、C兩點坐標代入得：

，解得：，

∴y=﹣x﹣5，

∵點P的橫坐標為t，則P（t， t2﹣t﹣5），

過點P作PN∥x軸交AC于點N，

把y=x2﹣x﹣5，代入直線AC解析式y=﹣x﹣5中，

解得xN=﹣t2+t，

∴N（﹣t2+t， t2﹣t﹣5），

∴PN=t﹣（﹣t2+t）=t2+t，

S=S△ANP+S△CNP=PN×AJ+PN×AI

=PN×OI+PN×CI

=PN（OI+CI）

=PN×OC

=t2+t，

（3）由y=x2﹣x﹣5=（x﹣）2﹣，

得拋物線的對稱軸為直線x=，頂點坐標為（，﹣），

∵，

∴設DP=5n，DF=8n，

∵DE=EP=5n，過點E作EM⊥l于點M，則DM=FM=DF=4n，

∴在Rt△DME中，EM=3n，

∴點P的橫坐標為5n+，點E橫坐標為3n+，

∴yP=（5n+﹣）2﹣=n2﹣，

yE=（3n+﹣）2﹣=n2﹣

∴D（， n2﹣），M（， n2﹣），

∴DM=n2﹣﹣（n2﹣）=8n2，

∴8n2=4n，

∴n=，

∴E（3，﹣5），

∵A（﹣2，0），E（3，﹣5），

∴直線AE的解析式為y=﹣x﹣2，

令x=，則y=﹣x﹣2=﹣﹣2=﹣，

∴G（，﹣），

∵直線y=kx﹣k（k≠0）恰好經過點G，

∴﹣=k﹣k，

∴k=3，

∴直線WG的解析式為y=3x﹣8，

如圖2，

點A關于HK的對稱點A′（m，3m﹣8），

∵A（﹣2，0），H（，0），

∴AH=，

∵HS垂直平分AA′，

∴A′H=AH=，

過A′作A′R⊥x軸于R，

在Rt△A′HR中，A′R2+HR2=A′H2，

∴（3m﹣8）2+（m﹣）2=，

∴m1=（舍），m2=，

∴A′（，），

∴tan∠A′AR=，

∵∠HAS+∠AHS=∠OKH+∠AHS=90°，

∴tan∠OKH=tan∠A′AR=，

∴tan∠OKH=，

∴OK=3，

∴K（0，3），

∴直線KH的解析式為y=﹣2x+3，

∵，

∴，

∴V（，﹣），

∵A（﹣2，0），

∴直線AV的解析式為y=﹣x﹣，

設Q（s， s2﹣s﹣5），代入y=﹣x﹣中，

s2﹣s﹣5=﹣s﹣，

∴s1=﹣2（舍），s2=，

∴Q（，﹣）．