Question

如圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點A，BC與⊙O相交于點D，在AC上取一點E，使得ED=EA．

（1）求證：ED是⊙O的切線．

（2）當OA=3，AE=4時，求BC的長度．

　

Answer 1

【考點】切線的判定；垂徑定理．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）如圖，連接OD．通過證明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易證得結論；

（2）利用圓周角定理和垂徑定理推知OE∥BC，所以根據平行線分線段成比例求得BC的長度即可．

【解答】（1）證明：如圖，連接OD．

∵AC⊥AB，

∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．

在△AOE與△DOE中，

，

∴△AOE≌△DOE（SSS），

∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．

又∵OD是⊙O的半徑，

∴ED是⊙O的切線；

（2）解：如圖，在△OAE中，∠OAE=90°，OA=3，AE=4，

∴由勾股定理易求OE=5．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．

又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，

∴∠AEO=∠DEO，

又∵AE=DE，

∴OE⊥AD，

∴OE∥BC，

∴==．

BC=2OE=10，即BC的長度是10．

【點評】本題考查了切線的判定與性質．解答（2）題時，也可以根據三角形中位線定理來求線段BC的長度．