Question

如圖，一次函數分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）本問要點是求得線段MN的表達式，這個表達式是關于t的二次函數，利用二次函數的極值求線段MN的最大值；
（3）本問要點是明確D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示，不要遺漏．其中D₁、D₂在y軸上，利用線段數量關系容易求得坐標；D₃點在第一象限，是直線D₁N和D₂M的交點，利用直線解析式求得交點坐標．
解答：解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點，
∴A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0）…（1分）
將x=0，y=2代入y=-x²+bx+c得c=2…（2分）
將x=4，y=0代入y=-x²+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=，
∴拋物線解析式為：y=-x²+x+2…（3分）

（2）如答圖1，設MN交x軸于點E，
則E（t，0），BE=4-t．
∵tan∠ABO===，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4-t）×=2-t．
又N點在拋物線上，且x_N=t，∴y_N=-t²+t+2，
∴MN=y_N-ME=-t²+t+2-（2-t）=-t²+4t…（5分）
∴當t=2時，MN有最大值4…（6分）

（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示．…（7分）
（i）當D在y軸上時，設D的坐標為（0，a）
由AD=MN，得|a-2|=4，解得a₁=6，a₂=-2，
從而D為（0，6）或D（0，-2）…（8分）
（ii）當D不在y軸上時，由圖可知D₃為D₁N與D₂M的交點，
易得D₁N的方程為y=x+6，D₂M的方程為y=x-2，
由兩方程聯立解得D為（4，4）…（9分）
故所求的D點坐標為（0，6），（0，-2）或（4，4）…（10分）
點評：本題是二次函數綜合題，考查了拋物線上點的坐標特征、二次函數的極值、待定系數法求函數解析式、平行四邊形等重要知識點．難點在于第（3）問，點D的可能位置有三種情形，解題時容易遺漏而導致失分．作為中考壓軸題，本題有一定的難度，解題時比較容易下手，區分度稍低．