Question

如圖，在直角坐標系中，以點M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點A，交x軸的負半軸交于點B，交y軸的正半軸于點C ，過點C的直線交x軸的負半軸于點D(-9，0)
(1) 求A、C兩點的坐標；
(2) 求證：直線CD是⊙M的切線；
(3) 若拋物線y=x²+bx+c經過M、A兩點，求此拋物線的解析式；
(4) 連接AC，若（3）中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點E，與AC交于點F。如果點P是拋物線上的動點，是否存在這樣的點P，使得S_△PAM：S_△CEF=：3，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由。 (本題中的結果均保留根號)

Answer 1

解：（1）連接CM，由題意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9 ，A（9，0） ∴C（0，） （2）在Rt△DCO中 在△DCM中， ∴△DCM直角三角形 ∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半徑 ∴CD是⊙M的切線。 （3）由拋物線經過點M（3，0）和點A（9，0），可得    解得 ∴拋物線的解析式為： （4）存在。設直線CD的解析式為 點C和點D（-9，0）在此直線上，可得：   解得 ∴直線AC的解析式為： ∵拋物線的對稱軸為 又∵點E是對稱軸和直線CD的交點 當x=6時， 點E的坐標為（6，） 點F是對稱軸和直線AC交點 ∴當x=6時， ∴點F的坐標為（6，）∴ 過點C作CG⊥EF于點G，則CG=6 ① 若點P在軸的上方，設點P坐標為（x，y）     解得：y=4 當y=4時，即，解得 ②若點P在x軸上，則點P與點M或與點A重合，此時構不成三角形。 ③若點P在x軸下方，設點P的坐標為（x，y）       解得：y=-4 當y=-4時，即  解得 ∴這樣的點共有4個