Question

【題目】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝ ，AF平分∠DAB，過C點作CE⊥BD于E，延長AF.EC交于點H，下列結論中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正確的是（　　）

A.②③
B.③④
C.①②④
D.②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】∵AB＝1，AD＝ ，
∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．
∴△OAB，△OCD為正三角形．
AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一個等腰直角三角形．
∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝45°，
∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．
∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性質）∴∠AHC＝15°，
∴CA＝CH
由正三角形上的高的性質可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，
∴BE＝3ED．
所以正確的是②③④.
故選D．
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．