Question

【題目】（1）思考探究：如圖，△ABC的內角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于P點，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°．求∠A和∠P的度數．

（2）類比探究：如圖，△ABC的內角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于P點，已知∠P＝n°．求∠A的度數（用含n的式子表示）．

（3）拓展遷移：已知，在四邊形ABCD中，四邊形ABCD的內角∠ABC與外角∠DCE的平分線所在直線相交于點P，∠P=n°，請畫出圖形；并探究出∠A+∠D的度數（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠A＝30°，∠P=15°；（2）∠A＝2n°；（3）畫圖見解析；∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n°．

【解析】

(1) 根據三角形內角和定理可以算出∠A的大小，再根據角平分線的性質和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，即可得解；

(2)和（1）證明方法類似，先證明∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC），再證明∠A＝2∠P即可得到答案；
(3) 延長BA交CD的延長線于F根據三角形內角和定理和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，即可得到第一種情況；延長AB交DC的延長線于F，同理即可得到答案．

解：（1）∠A＝30°，∠P＝15°

∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝100°

∴∠ACB＝80°，

∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形內角和定理），

又∵∠ABC＝70°，

∴∠A＝30°，

∵P點是∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，

∴∠PCD＝∠ACD＝50°，∠PBC＝∠ABC＝35°

∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∠PCB+∠PCD＝180°

∴∠PCD＝∠PBC+∠P

∴∠P＝50°－35°＝15°

（2）結論：∠A＝2n°，理由如下：

∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和），

又∵P點是∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，

∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC）（等量替換），

∴∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC（等量替換），

∴∠A＝2∠P；

∴∠A＝2n°

（3）（Ⅰ）如圖②延長BA交CD的延長線于F．

∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA

＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）

＝∠A+∠D﹣180°，

由（2）可知：∠F＝2∠P＝2n°，

∴∠A+∠D＝180°+2n°。

（Ⅱ）如圖③，延長AB交DC的延長線于F．

∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝∠F，

∴∠P＝（180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣（∠A+∠D）．

∴∠A+∠D＝180°﹣2n°

綜上所述：∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n° ；