Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向A點勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）AC的長是　　 ，AB的長是　 ．

（2）在D、E的運動過程中，線段EF與AD的關系是否發生變化？若不變化，那么線段EF與AD是何關系，并給予證明；若變化，請說明理由．

（3）當t為何值，△BEF的面積是2？

Answer 1

【答案】（1）10；5；（2）EF與AD平行且相等．（3）3.

【解析】分析：(1)、根據含有30°角的直角三角形的性質以及BC的長度求出AC和AB的長度；(2)、根據運動的速度得出AE=DF，根據垂直得出AE∥DF，從而得出四邊形AEFD為平行四邊形，從而得出EF和AD的關系；(3)、根據運動的速度用含t的代數式表示BE和BF的長度，然后根據直角三角形的面積計算法則得出t的值．

詳解：（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°， ∴AC=2AB，

根據勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2， ∴3AB2=75， ∴AB=5，AC=10；

（2）EF與AD平行且相等．

證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t， ∴DF=t． 又∵AE=t，

∴AE=DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF．

∴四邊形AEFD為平行四邊形． ∴EF與AD平行且相等．

（3）解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°， ∴DF=CD， ∴CF=t，

又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5﹣t，

∴， 即：，

解得：t=3，t=7（不合題意舍去）， ∴t=3．

故當t=3時，△BEF的面積為2．