Question

【題目】如圖1，直線y=﹣ x+n交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線y= x2+bx+c經過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設點P的橫坐標為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；
（3）如圖2，將△BDP繞點B逆時針旋轉，得到△BD′P′，且旋轉角∠PBP′=∠OAC，當點P的對應點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點C（0，4）在直線y=﹣ x+n上，

∴n=4，

∴y=﹣ x+4，

令y=0，

∴x=3，

∴A（3，0），

∵拋物線y= x2+bx+c經過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．

∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，

∴b=﹣ ，

∴拋物線解析式為y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：點P為拋物線上一個動點，設點P的橫坐標為m．

∴P（m， m2﹣ m﹣2），

∴BD=|m|，PD=| m2﹣ m﹣2+2|=| m2﹣ m|，

∵△BDP為等腰直角三角形，且PD⊥BD，

∴BD=PD，

∴|m|=| m2﹣ m|，

∴m=0（舍），m= ，m= ，

∴PD= 或PD=

（3）

解：∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，

∴AC=5，

∴sin∠PBP'= ，cos∠PBP'= ，

①當點P'落在x軸上時，過點D'作D'N⊥x軸，垂足為N，交BD于點M，

∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，

如圖1，

ND'﹣MD'=2，

∴ （ m2﹣ m）﹣（﹣ m）=2，

∴m= （舍），或m=﹣ ，

如圖2，

ND'+MD'=2，

∴ （ m2﹣ m）+ m=2，

∴m= ，或m=﹣ （舍），

∴P（﹣ ， ）或P（ ， ），

②當點P'落在y軸上時，如圖3，

過點D′作D′M⊥x軸，交BD于M，過P′作P′N⊥y軸，

∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，

∵P′N=BM，

∴ （ m2﹣ m）= m，

∴m= ，

∴P（ ， ）．

∴P（﹣ ， ）或P（ ， ）或P（ ， ）

【解析】（1）先確定出點A的坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；
（2）由△BDP為等腰直角三角形，判斷出BD=PD，建立m的方程計算出m，從而求出PD；
（3）分點P′落在x軸和y軸兩種情況計算即可．