Question

【題目】如圖，點A和動點P在直線l上，點P關于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側，PC=4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設AQ=3x．

（1）用關于x的代數式表示BQ，DF．

（2）當點P在點A右側時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．

（3）在點P的整個運動過程中，

①當AP為何值時，矩形DEGF是正方形？

②作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為1，求AP的長（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）BQ=5x，FD=3x；（2）9；（3）①12或或3；②6 或.

【解析】試題分析：（1）根據Rt△ABQ中AQ:AB=3:4得出AQ=3x，AB=4x，BQ=5x，根據CD⊥m，l⊥m得出OD∥l，則OB=OQ，AH=BH=2x，則CD=2x，則FD=CD=3x；（2）AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ="6x+4" 作OM⊥AQ于點M（如圖①）根據外接圓的性質得出∠BAQ=90°，則點O是BQ的中點，則QM=AM=x，則OD=MC=x+4，OE=x，ED=2x+4，根據矩形的面積求出x的值，從而的好粗AP的長度；（3）①當矩形為正方形時，則ED=FD，點P在點A的右側時，畫出圖形得出2x+4=3x，得出x的值和AP的長度；點P在點A的左側時，當點C在點Q右側當 0＜x＜時，畫出圖形得出ED=4－7x，FD=3x，求出x的值和AP的長度；當≤x＜時， ED=7－4x，DF=3x，從而求出x的值；當點C在點Q左側時，即x≥畫出圖形可得：DE=7x－4，DF=3x，然后求出x的值和AP的長度；②、連結NQ，有點O到BN的弦心距為1得：NQ=2，當點N在AB的左側時畫出圖形，過點B作BM⊥EG于點M，根據GM=x，BM=x得出∠GBM=45°，根據BM∥AQ，decubitusAI="AB=4x" ，IQ=x，NQ==2，從而求出x的值，得出AP的長度；當點N在AB的右側時，畫出圖形，然后利用同樣的方法求出AP的長度.

試題解析：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ:AB=3:4 ∴AQ=3x ∴AB=4x BQ=5x

又∵CD⊥m，l⊥m ∴OD∥l ∵OB=OQ ∴AH=BH=AB=2x ∴CD=2x ∴FD=CD=3x

（2）∵AP=AQ=3x PC=4 ∴CQ=6x+4 作OM⊥AQ于點M（如圖①） ∴OM∥AB

∵O是△ABQ的外接圓 ∠BAQ=90° ∴點O是BQ的中點 ∴QM=AM=x ∴OD=MC=x+4

∴OE=BQ=x ∴ED=2x+4 ∴矩形DEGF的面積=DF·DE=3x（2x+4）=90

∴=－5（舍去）=3 ∴AP=3x=9

（3）①若矩形DEGF是正方形 則ED=FD

I、點P在點A的右側時（如圖①） ∴2x+4=3x，解得：x=4 ∴AP=3x=12

II、點P在點A的左側時 當點C在點Q右側 0＜x＜時（如圖②） ∵ED=4－7x，FD=3x

∴4－7x=3x 解得：x=∴AP=

當≤x＜時（如圖③） ED=7－4x，DF=3x ∴7－4x=3x 解得：x=1（舍去）

當點C在點Q左側時，即x≥（如圖④） DE=7x－4 DF=3x ∴7x－4=3x 解得：x=1 ∴AP=3

綜上所述：當AP為12或或3時，矩形DEGF是正方形

②、AP的長為6或

連結NQ，有點O到BN的弦心距為1得：NQ=2

當點N在AB的左側時（如圖⑤） 過點B作BM⊥EG于點M ∵GM=x，BM=x ∴∠GBM=45°

∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x ∴IQ=x ∴NQ==2 ∴x=2∴AP=6

當點N在AB的右側時（如圖⑥），過點B作BJ⊥GE于點J ∵GJ=x，BJ=4x ∴tan∠GBJ=

∴AI=16x ∴QI=19x ∴NQ==2 ∴x=∴AP=.