Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，延長BC到點D，使BD=BA，P是BC邊上一點．點Q在射線BA上，PQ=BP，以點P為圓心，PD長為半徑作⊙P，交AC于點E，連接PQ，設PC=x．

（1）AB=　　　　，CD=　　　　，當點Q在⊙P上時，求x的值；

（2）x為何值時，⊙P與AB相切？

（3）當PC=CD時，求陰影部分的面積；

（4）若⊙P與△ABC的三邊有兩個公共點，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5，1，x=；（2）x=；（3）－；（4）0≤x＜或＜x＜4．

【解析】

(1)先由勾股定理求得AB，再由BD=BA，可得BD的長，從而CD的長可求；當點Q在⊙P上時，如圖1，根據PQ=PD推得BP=PD，從而列出方程，解得的值即可；
(2)作PF⊥AB于點F，當PF=PD時，⊙P與AB相切，如圖2，由正弦函數得出關于 的方程，解得的值即可；
(3)如圖3，連接PE，利用S陰影=S扇形PDE-S△PCE即可得出答案；
(4)由圖1和圖2即可得出答案．

(1)∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵BD=BA，
∴BD=5，
∴CD= BD - BC=1．
故答案為：5，1；
當點Q在⊙P上時，如圖1，

∵PQ=PD，BP= PQ，
∴BP=PD，
即．
解得：；

(2)作PF⊥AB于點F，當PF=PD時，⊙P與AB相切，如圖2，

則PF=PD=x+1，

sinB==，

即=，

解得：x=，

經檢驗，x=是分式方程的解，且滿足題意，

∴x=時，⊙P與AB相切；

(3)如圖3，連接PE，

∵Rt△PEC中，PC=CD=1，PE=PD=1+1=2．

∵，

∴∠EPC=60°，EC==，

∴S陰影=S扇形PDE-S△PCE

=×1×

=-；

(4)由圖2可知，當時，⊙P與△ABC的三邊有兩個公共點；

由圖1可知，當時，⊙P與△ABC的三邊有兩個公共點．
∴的取值范圍為：0≤x＜或＜x＜4．